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Vorlesung Analysis IV, 15. und 16. Stunde

Description Vorlesung im SoSe 2013; Dienstag, 14. Mai 2013
Creator Ulrich Groh (author); Martin Adler (author)
Contributor ZDV Universität Tübingen (producer)
Publisher ZDV Universität Tübingen
Creation Date 2013-05-14
Subjects Mathematik, Analysis, Vorlesung, komplexe Analysis, elementare Funktionen, Umkehrfunktion des komplexen Sinus, Arcus Sinus, Darstellung des Arcus Sinus, Hauptsätze der Funktionentheorie, Prinzip der analytischen Fortsetzung, analytische Fortsetzung, Identitätssatz, Permanenzprinzip holomorpher Funktionen, Cotangens, Ordnung einer Nullstelle
Rights Rechtshinweise
Abstract Voraussetzungen Vorlesung Analysis 1 / Analysis 2.

Timecodes

00:00:00 Umkehrfunktion des komplexen Sinus
00:00:52 Lösungen der Gleichung sin(w) = z
00:02:29 Lösungen der Gleichung sin(w) = z , Eindeutigkeit in einem Streifen (Satz)
00:04:41 Umkehrfunktion des komplexen Sinus (Arcus Sinus, "Arcsin"), Definition
00:05:40 Hauptwert und Nebenwerte des komplexen Arcus Sinus, Bezeichnungen
00:07:14 Darstellung des Arcus Sinus durch den Logarithmus, Proposition
00:08:28 Darstellung des Arcus Sinus durch den Logarithmus, Beweis
00:09:58 Reihendarstellung des Arcus Sinus für |z| < 1, Satz
00:10:52 Reihendarstellung des Arcus Sinus für |z| < 1, Beweis
00:15:50 Zusammenhang von Sinus, Cosinus und der Exponentialfunktion, Bemerkung
00:16:38 Hauptsätze der Funktionentheorie
00:17:11 Integralformel von Cauchy für Kreisscheibe, Theorem (Erinnerung)
00:19:24 Abschätzung der Koeffizienten der Potenzreihe und deren Konsequenzen, Bemerkung
00:24:06 Prinzip der analytischen Fortsetzung
00:25:36 Potenzreihe um neuen Entwicklungspunkt (mit Umordnung)
00:32:04 neue Potenzreihe mit eventuell größerem Konvergenzradius
00:34:15 Potenzreihe um neuen Entwicklungspunkt, Folgerung
00:35:00 analytische Fortsetzung, Bezeichnung
00:35:39 analytische Fortsetzung, Frage der Eindeutigkeit
00:39:46 analytische Fortsetzung, Frage der Eindeutigkeit (Gegenbeispiel)
00:44:13 Identitätssatz für holomorphe Funktionen
00:49:25 Identitätssatz, Beweis
01:04:42 Identitätssatz für holomorphe Funktionen hat weitreichende Konsequenzen
01:06:19 Permanenzprinzip holomorpher Funktionen, Folgerung aus Identitätssatz
01:07:30 elementare Funktionen im Komplexen, es gibt nur ein Exemplar von exp, sin, cos
01:08:15 elementare Funktion, Cotangens ( f(z) = cot(Pi z) ist 1-periodisch)
01:11:38 Identitätssatz, Voraussetzung der Holomorphie auf Gebiet ist notwendig
01:13:14 Identitätssatz für holomorphe Funktionen auf offener Menge
01:14:05 Identitätssatz gilt nicht für reelle Funktionen, Beispiel
01:17:07 Identitätssatz, Folge muß gegen inneren Punkt des Gebiets konvergieren (Gegenbeispiel)
01:19:47 ist Funktion nicht Null auf Umgebung von z_0, so auch eine k-te Ableitung in z_0, Folgerung
01:21:34 Ordnung der Nullstelle einer Funktion, Bezeichnung
01:22:14 Zerlegung einer holomorphen Funktion, Charakterisierung durch Ordnung der Nullstelle
01:24:45 Hauptsätze der Funktionentheorie, Zusammenfassung