Vorlesung 10 Perlen der Mathematik, 19. und 20. Stunde

Description Vorlesung im SoSe 2016; Donnerstag, 14. Juli 2016
Creator Frank Loose (author)
Contributor ZDV Universität Tübingen (producer)
Publisher ZDV Universität Tübingen
Creation Date 2016-07-14
Subjects Mathematik, Analysis, Vorlesung, 10 Perlen der Mathematik, Paradoxon von Banach-Tarski, Stefan Banach, Alfred Tarski, Auswahlaxiom, Maßeigenschaft der Additivität, zerlegungskongruente Mengen (A ~ B), S^1 ~ S^1\{(1,0)}, paradoxe Teilmenge, Einheitskugel B^3 ist paradox, Drehungen der 2-Sphäre (S^2), Menge D der Antipodenpaare auf S^2, S^2\D ist paradox
Rights Rechtshinweise
Abstract Diese Veranstaltung besteht aus 10 Vorlesungen über besonders attraktive Sätze der Mathematik (den 10 Perlen). Jede dieser Vorlesung soll dabei weitgehend unabhängig von den anderen Vorlesungen sein, so dass auch nur einzelne Veranstaltungen besucht werden können. Sie richtet sich eigentlich an alle, die eine gewisse Freude an mathematischen Denken haben und setzt außer der Bereitschaft sich in ein mathematisches Problem zu vertiefen nichts weiter voraus.

Timecodes

00:00:00 Vorlesung 10 Perlen der Mathematik, Einleitung
00:00:51 Perle 10: das Paradoxon von Banach und Tarski
00:03:59 Axiome (in der Mengenlehre)
00:05:37 Auswahlaxiom, Vorbemerkung
00:06:33 Auswahlaxiom, Aussage
00:08:23 Maßeigenschaft der Additivität
00:10:49 wegen Auswahlaxiom gibt es nicht messbare Teilmengen im R^3
00:11:32 zerlegungskongruente Teilmengen (in Zeichen A ~ B), Definition
00:14:14 zerlegungskongruente Teilmengen (in Zeichen A ~ B), Beispiel
00:15:35 S^1 ist zerlegungskongruent zu S^1\{(1,0)}, Beispiel (Grundidee des Beweises)
00:17:27 S^1 ist zerlegungskongruent zu S^1\{(1,0)}, Beweis
00:27:55 Verfeinerung des obigen Arguments
00:30:22 Verfeinerung: Wirkung auf S^1 erzeugt Bahnen
00:31:05 Verfeinerung: S^1 ist disjunkte Vereinigung von Bahnen
00:33:09 Verfeinerung: Menge der Repräsentanten M der Bahnen ist nicht messbar
00:36:43 Verfeinerung: S^1 ist zerlegungskongruent zu S^1\M
00:38:37 paradoxe Teilmenge im R^3, Definition
00:41:23 eine zu paradoxer Menge X zerlegungskongruente Menge Y ist selbst paradox, Bemerkung
00:42:09 die Einheitskugel B^3 ist paradox, Satz (Banach-Tarski)
00:43:56 Satz von Banach-Tarski, Beweis
00:44:16 Schritt 1: zum Beweis genügt zu zeigen: S^2 ist paradox
00:48:36 Schritt 2: Übertragung der Grundidee des Beweises auf zwei Drehungen f und g im R^3
00:51:06 Betrachtung der von f und g erzeugten Untergruppe F in SO(3)
00:52:30 reduzierte Darstellung der "Worte" in erzeugter Untergruppe F, Konvention
00:54:59 echte Drehung an der 2-Sphäre hat zwei Fixpunkte (Antipoden, die Drehachse definieren)
00:56:46 setze D als Menge der obigen Fixpunktpaare auf S^2
00:57:28 X = S^2\D ist paradox, Satz (Hausdorff)
00:57:56 Schritt 3: X = S^2\D ist zerlegungskongruent zu S^2 (S^2\D ~ S^2)
00:59:14 Untergruppe F wirkt auf X
01:02:17 Abschluss: disjunkte Zerlegung der Gruppe F in fünf Teile
01:04:53 Wirkung von f und g auf Teilen der Zerlegung
01:07:07 definiere Mengen A' und B', welche beide zerlegungskongruent zu F sind
01:08:25 transportiere alles auf Menge X: das zeigt, dass X paradox ist
01:10:14 Vorlesung 10 Perlen der Mathematik, Schlussbemerkung