Vorlesung Analysis I, 19. Stunde

Groh, Ulrich , 15.11.2011

Table of Contents:

00:00:00 Erweiterung der Zahlensysteme zur Lösung von Gleichungen
00:01:37 rationale Zahlen, Gleichung x^2 = 2 hat in den rationale Zahlen keine Lösung
00:03:16 Widerspruchsbeweis mit Prinzip des unendlichen Abstiegs und Wohlordnungssatz
00:06:19 Satz des Pythagoras liefert aber geometrische Lösung von x^2 = 2
00:08:18 rationale Zahlen, Illustration auf Zahlengeraden
00:10:03 Erweiterung der rationalen Zahlen, so dass x^2 = 2 eine Lösung hat
00:10:39 rationale Zahlen, zwischen zwei verschiedenen liegt wieder eine (Satz)
00:12:30 rationale Zahlen, Approximierbarkeit der Wurzel(2) (Satz)
00:14:01 Annahme, Wurzel(2) unterliegt gleichen Rechenregeln wie die rationalen Zahlen
00:20:15 Wurzel(2), zwei verschiedene Approximationen sind (2 x epsilon)-nah
00:22:42 wie kommt man zu Cauchy-Folgen?
00:28:54 Cauchy-Folge rationaler Zahlen, Definition
00:33:49 Äquivalenzrelation auf der Menge der Cauchy-Folgen, Definition
00:35:43 Äquivalenzrelation, Äquivalenzklasse und Repräsentant (Erinnerung)
00:36:47 Folge, Definition, Schreibweise und Illustration
00:40:06 Cauchy-Folge, Illustration am Graph der Folge
00:41:37 äquivalente Cauchy-Folgen, Illustration am Graph der Folgen
00:42:54 Äquivalenzrelation auf der Menge der Cauchy-Folgen (Illustration)
00:44:03 Äquivalenzklasse von äquivalenten Cauchy-Folgen
00:44:03 Konstruktion der reellen Zahlen als Nebenklassen von äquivalenten Cauchy-Folgen
00:45:45 Fortsetzung von Addition und Multiplikation auf den Quotientenraum
00:48:38 Inverses einer Nebenklasse ungleich Null (i.e. einer Cauchy-Folge, die nach unten beschränkt ist)
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