Vorlesung Analysis II, 44. Stunde

Groh, Ulrich , 19.07.2012

Table of Contents:

00:00:58 (partielle) Differentialgleichung W = xU_y - yU_x, Umwandlung in Polarkoordinaten
00:02:05 Koordinatentransformation von kartesischen zu Polarkoordinaten
00:05:15 Polarkoordinaten, Jacobimatrix der Transformation
00:07:02 Ableitung des Arkustangens (arctan)
00:10:32 Polarkoordinaten, Jacobimatrix der Transformation (Fortsetzung)
00:12:24 Differentialgleichung W = xU_y - yU_x, Umwandlung in Polarkoordinaten (Vorbereitungen, Durchführung)
00:19:07 Differentialgleichung W = xyU_x + y^2U_y, Umwandlung in Polarkoordinaten (weiteres Beispiel)
00:21:18 Koordinatentransformation, Kugelkoordinaten und Zylinderkoordinaten im R^3
00:23:30 Theorem von Picard-Lindelöf, Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung des AWP einer DGL 1. Ordnung
00:24:17 Theorem von Picard-Lindelöf, Beweisskizze (Fortsetzung)
00:34:33 Theorem von Picard-Lindelöf, Zusammenfassung und Verallgemeinerung (Anmerkung)
00:36:17 Theorem von Picard-Lindelöf, gilt Satz auch für DGL n-ter Ordnung?
00:37:07 n-dimensionale Differentialgleichung 1. Ordnung, AWP für vektorwertige Funktionen
00:38:09 Theorem von Picard-Lindelöf, Übertragung auf n-dimensionale DGL 1. Ordnung
00:40:00 vektorwertige Funktionen heißen Kurven im R^n
00:40:42 vektorwertige Funktionen (Kurven), Ableitung und Integral sind komponentenweise definiert
00:42:12 Anfangswertproblem für vektorwertige Funktionen
00:43:26 Normabschätzung für Integral, Norm(Integral(h)) <= Integral(Norm(h))
00:46:24 im R^n sind alle Normen äquivalent, liefern also gleichen Konvergenzbegriff
00:48:42 Anfangswertproblem einer DGL n-ter Ordnung hat eindeutig bestimmte Lösung, Zusammenfassung
00:49:46 Lösung einer Differentialgleichung, weitere Fragen (Lösung maximal?, Abhängigkeit von Anfangswerten, Eigenschaften der Lösung)
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