Vorlesung Analysis II, 47. Stunde

Groh, Ulrich , 24.07.2012

Table of Contents:

00:00:00 Pendel und Doppelpendel
00:02:12 allgemeinen Pendelgleichung, Vorschau
00:02:40 mathematisches Pendel, Lösung der linearisierten Differentialgleichung (Erinnerung)
00:03:39 lineare Differentialgleichung (das AWP) hat eindeutig bestimmte maximale Lösung, Interpretation für Pendel
00:08:13 lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
00:08:52 lineare DGL, Verallgemeinerung des eindimensionalen Falls y' = ay mit Lösung y(t) = k exp(at)
00:09:56 matrixwertige Exponentialfunktion oder Matrix-Exponentialfunktion, Definition
00:11:23 matrixwertige Funktionen, ihre Ableitung und ihr Integral (Definitionen)
00:15:02 Lösung des AWP {y' = Ay, y(0) = y_0} mit Iterationsverfahren aus Picard-Lindelöf
00:19:35 Lösung des AWP {y' = Ay, y(0) = y_0} reduziert auf Berechnung der Matrix exp(tA)
00:20:55 Langzeitverhalten der Lösungen, im eindimensionalen Fall abhängig vom Parameter a (bei Matrizen?)
00:22:10 Matrix-Exponentialfunktion, Eigenschaften (Funktionalgleichung, Invertierbarkeit)
00:25:37 Matrix-Exponentialfunktion, Beispiele (mit Einheitsmatrix, Jordankasten)
00:32:04 Matrix-Exponentialfunktion, exp(tA) ist einfach darstellbar, wenn A Jordanform hat
00:34:04 Lösungen der DGL y' = Ay stecken in den Spalten von exp(tA)
00:36:38 lineare Differentialgleichung, Lösung für reelle 2x2 Matrix A (Beispiel)
00:39:49 Langzeitverhalten der Lösung abhängig von Eigenwerten von A
00:42:36 lineare DGL, Lösung für reelle 2x2 Matrix A bei mehrfachen Eigenwerten
00:44:42 lineare DGL, Lösung für reelle 2x2 Matrix A bei komplexen Eigenwerten
00:47:38 Langzeitverhalten der Lösung bei komplexen Eigenwerten
00:49:06 lineare Differentialgleichungen, Bemerkungen und (Literatur-) Hinweise
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