Vorlesung Analysis III, 12. Stunde

Groh, Ulrich , 06.11.2012

Table of Contents:

00:00:00 Lebesguesches Maß auf R, Definition
00:01:59 Sigma-Algebra der Lebesgue-messbaren Mengen ist Vervollständigung der Borel-Sigma-Algebra
00:02:35 ist Borel-Sigma-Algebra gleich der Sigma-Algebra der Lebesgue-messbaren Mengen? (Frage 1)
00:03:15 sind alle Teilmengen der reellen Zahlen Lebesgue-messbar? (Frage 2)
00:03:49 Zusammenhang zwischen Maß und Topologie (Frage 3)
00:05:15 translatierte und skalierte Mengen ( "E + s , r x E"), Definition
00:06:23 Lebesguesches Maß ist translationsinvariant und skaliert "vernünftig" (Behauptung)
00:07:56 Lebesguesches Maß ist translationsinvariant und skaliert "vernünftig" (Beweis)
00:12:40 Antwort auf Frage 2: nein (z.B. Vitali-Menge)
00:13:55 Antwort auf Frage 1: wird gegeben mit Hilfe der Cantor-Menge
00:14:30 Cantor-Menge, Konstruktion
00:18:49 Cantor-Menge, Maß des Komplements (in [0,1])
00:19:40 Cantor-Menge hat Maß Null
00:20:20 Cantor-Menge ist abgeschlossen, perfekt und hat Mächtigkeit der reellen Zahlen (Behauptung)
00:21:57 Cantor-Menge und ihre Teilmengen sind Lebesgue-messbar, Konsequenzen für Frage 1
00:23:36 Mächtigkeit der Lebesgue-messbaren Mengen ist Mächtigkeit der Potenzmenge von R
00:26:27 Mächtigkeit der Borelschen Sigma-Algebra ist gleich der Mächtigkeit der reellen Zahlen, Frage 1
00:28:58 Cantor-Menge hat Mächtigkeit der reellen Zahlen, Beweis
00:29:23 ternäre Darstellung der Elemente der Cantor-Menge (zum Beweis)
00:37:56 Cantor-Menge enthält keine offenen Intervalle (keine inneren Punkte) und hat Maß 0
00:38:50 es gibt Mengen, die offen und dicht sind, aber Maß 0 haben (zur Frage 3)
00:40:36 Maßtheorie, Zusammenfassung
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