Vorlesung Analysis IV, 4. Stunde

Groh, Ulrich , 18.04.2013

Table of Contents:

00:00:00 Bedeutung der komplexen Exponentialfunktion, Bemerkung
00:01:50 Differenzierbarkeit reeller Funktionen, drei Definitionen (Erinnerung)
00:03:38 Differenzierbarkeit vektorwertiger reeller Funktionen, Erinnerung
00:06:12 Differential vektorwertiger Funktionen, Darstellung durch Jacobi-Matrix
00:08:12 komplex differenzierbare Funktion, Vorbemerkung
00:09:11 in einem Punkt komplex differenzierbare Funktion, Definition (Carathéodory)
00:10:56 holomorphe Funktion, Definition
00:12:44 Permanenzprinzip für komplex differenzierbare Funktionen (Rechenregeln), Satz
00:14:16 komplex differenzierbare Funktion, Beispiel (Potenzfunktion)
00:14:59 komplexe Differenzierbarkeit, Äquivalenz zu Definitionen nach Weierstraß und Cauchy
00:16:49 komplexe Differenzierbarkeit, Bedeutung der Definition nach Cauchy (komplexe vs. reelle Folgen)
00:19:40 nirgends komplex differenzierbare Funktion, Beispiel ( f(z) = z{quer} )
00:22:23 reelle und komplexe Differenzierbarkeit, Zusammenhang
00:23:48 komplexe Differenzierbarkeit, Charakterisierung (Satz)
00:27:04 Jacobi-Matrix ist R-linear (bei totaler Differenzierbarkeit), bei komplexer Differenzierbarkeit auch C-linear
00:32:00 Test auf komplexe Differenzierbarkeit mit Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen, Folgerung
00:33:37 Test auf komplexe Differenzierbarkeit mit Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen, Beispiel
00:35:57 Zusammenhang zwischen Real- und Imaginärteil einer komplex differenzierbaren Funktion
00:38:23 Real- und Imaginärteil einer komplex differenzierbaren Funktion erfüllen Laplace-Gleichung, Folgerung
00:41:30 komplex differenzierbare Funktion mit f'(z_0) != 0 ist lokal konforme Abbildung (winkeltreu)
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