Vorlesung Analysis IV, 15. und 16. Stunde

Groh, Ulrich ; Adler, Martin , 14.05.2013

Table of Contents:

00:00:00 Umkehrfunktion des komplexen Sinus
00:00:52 Lösungen der Gleichung sin(w) = z
00:02:29 Lösungen der Gleichung sin(w) = z , Eindeutigkeit in einem Streifen (Satz)
00:04:41 Umkehrfunktion des komplexen Sinus (Arcus Sinus, "Arcsin"), Definition
00:05:40 Hauptwert und Nebenwerte des komplexen Arcus Sinus, Bezeichnungen
00:07:14 Darstellung des Arcus Sinus durch den Logarithmus, Proposition
00:08:28 Darstellung des Arcus Sinus durch den Logarithmus, Beweis
00:09:58 Reihendarstellung des Arcus Sinus für |z| < 1, Satz
00:10:52 Reihendarstellung des Arcus Sinus für |z| < 1, Beweis
00:15:50 Zusammenhang von Sinus, Cosinus und der Exponentialfunktion, Bemerkung
00:16:38 Hauptsätze der Funktionentheorie
00:17:11 Integralformel von Cauchy für Kreisscheibe, Theorem (Erinnerung)
00:19:24 Abschätzung der Koeffizienten der Potenzreihe und deren Konsequenzen, Bemerkung
00:24:06 Prinzip der analytischen Fortsetzung
00:25:36 Potenzreihe um neuen Entwicklungspunkt (mit Umordnung)
00:32:04 neue Potenzreihe mit eventuell größerem Konvergenzradius
00:34:15 Potenzreihe um neuen Entwicklungspunkt, Folgerung
00:35:00 analytische Fortsetzung, Bezeichnung
00:35:39 analytische Fortsetzung, Frage der Eindeutigkeit
00:39:46 analytische Fortsetzung, Frage der Eindeutigkeit (Gegenbeispiel)
00:44:13 Identitätssatz für holomorphe Funktionen
00:49:25 Identitätssatz, Beweis
01:04:42 Identitätssatz für holomorphe Funktionen hat weitreichende Konsequenzen
01:06:19 Permanenzprinzip holomorpher Funktionen, Folgerung aus Identitätssatz
01:07:30 elementare Funktionen im Komplexen, es gibt nur ein Exemplar von exp, sin, cos
01:08:15 elementare Funktion, Cotangens ( f(z) = cot(Pi z) ist 1-periodisch)
01:11:38 Identitätssatz, Voraussetzung der Holomorphie auf Gebiet ist notwendig
01:13:14 Identitätssatz für holomorphe Funktionen auf offener Menge
01:14:05 Identitätssatz gilt nicht für reelle Funktionen, Beispiel
01:17:07 Identitätssatz, Folge muß gegen inneren Punkt des Gebiets konvergieren (Gegenbeispiel)
01:19:47 ist Funktion nicht Null auf Umgebung von z_0, so auch eine k-te Ableitung in z_0, Folgerung
01:21:34 Ordnung der Nullstelle einer Funktion, Bezeichnung
01:22:14 Zerlegung einer holomorphen Funktion, Charakterisierung durch Ordnung der Nullstelle
01:24:45 Hauptsätze der Funktionentheorie, Zusammenfassung
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