Vorlesung Analysis IV, 19. und 20. Stunde

Groh, Ulrich , 28.05.2013

Table of Contents:

00:00:00 Konvergenzsatz von Weierstraß, Einleitung
00:01:06 Räume der stetigen bzw. holomorphen Funktionen auf offener Menge, Bezeichnungen
00:03:15 Konvergenzarten für Funktionenfolgen (insbesondere Potenzreihen), Erinnerung
00:06:00 kompakte Konvergenz für Folge holomorpher Funktionen, Definition
00:08:52 kompakte Konvergenz für Folge holomorpher Funktionen, Beispiele
00:11:54 für welche Eigenschaften gilt Permanenzprinzip bei kompakt konvergenter Funktionenfolge?
00:13:14 Permanenzprinzip für kompakt konvergente Folge stetiger Funktionen
00:15:43 Permanenzprinzip für kompakt konvergente Folge holomorpher Funktionen, Konvergenzsatz von Weierstraß (Teil 1)
00:16:36 Konvergenzsatz von Weierstraß (Teil 1), Beweis
00:20:58 Konvergenzsatz von Weierstraß gilt im Reellen nicht, z.B. wegen Approximationssatz von Weierstraß
00:24:37 Starrheit holomorpher Funktionen, Bemerkung
00:25:29 konvergente Funktionenfolge im Reellen, für die Ableitungen nicht konvergieren, Anmerkung
00:27:43 Folge der Ableitungen einer kompakt konvergenten Funktionenfolge konvergiert gegen Ableitung der Grenzfolge, Konvergenzsatz von Weierstraß (Teil 2)
00:30:07 Konvergenzsatz von Weierstraß (Teil 2), Beweis
00:42:10 Konvergenzsatz von Weierstraß für Funktionenreihen, Korollar
00:44:44 Konvergenzsatz von Weierstraß, Beispiel 1
00:45:45 Konvergenzsatz von Weierstraß, Beispiel 2 (Riemannsche Zetafunktion)
00:46:06 es gibt unendlich viele Primzahlen, Beweis nach Euklid
00:48:44 wie sind Primzahlen verteilt?
00:50:57 harmonische Reihe über Primzahlen ist divergent (Euler, 1731)
00:53:13 Eulersche Produktformel
00:55:50 Eulersche Produktformel, Konvergenz der Reihe (Dirichlet)
00:56:26 harmonische Reihe ist divergent (Cauchy-Kriterium)
01:01:34 Primzahlzählfunktion (nach Gauß)
01:02:29 Primzahlsatz (Vermutung von Gauß, Beweis von Hadamard bzw. de La Vallée Poussin)
01:03:42 Riemannsche Zetafunktion, Fortsetzung der Zetafunktion ins Komplexe (Satz, Riemann 1859)
01:07:23 Riemannsche Zetafunktion, Fortsetzung der Zetafunktion ins Komplexe (Beweis)
01:10:28 Riemannsche Zetafunktion, Bedeutung für Abschätzung der Primzahlzählfunktion
01:11:33 Riemannsche Zetafunktion, holomorphe Fortsetzung der Zetafunktion auf ganz C\{1}
01:13:01 Riemannsche Zetafunktion, triviale Nullstellen
01:13:40 Riemannsche Zetafunktion, nicht-triviale Nullstellen (liegen in 0 < Re(z) < 1)
01:14:23 Riemannsche Vermutung, alle nicht-triviale Nullstellen liegen auf Re(z) = 1/2 (noch zu beweisen)
01:15:26 Riemannsche Vermutung, nicht-triviale Nullstellen liefern exakte Primzahlzählfunktion
01:16:41 Riemannsche Zetafunktion, Literaturhinweise
01:19:49 Konvergenzsatz von Weierstraß, Beispiel 3 (Laurent-Reihen)
01:19:49 Laurent-Reihen, Motivation
01:23:17 Laurent-Reihe, Vorbereitungen (Konvergenzradien der Teilreihen)
01:26:21 Laurent-Reihe, Konvergenzradien der Teilreihen (Illustration)
01:27:46 Laurent-Reihe, Konvergenzbereich für beide Teilreihen (Kreisring)
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