Vorlesung Analysis IV, 21. und 22. Stunde

Groh, Ulrich , 04.06.2013

Table of Contents:

00:00:00 Konvergenzsatz von Weierstraß, Erinnerung
00:01:29 Riemannsche Zetafunktion, Anwendung des Konvergenzsatzes von Weierstraß
00:02:15 Konvergenzsatz von Weierstraß, Nachtrag zum Beweis
00:03:46 Konvergenzbegriff, gibt es "passende" Metrik zur Topologie der kompakten Konvergenz?
00:05:14 Ausschöpfung einer offenen Menge durch kompakte Mengen, Lemma
00:07:52 innere Punkte einer Menge, Definition
00:09:16 Ausschöpfung einer offenen Menge durch kompakte Mengen, Beweis
00:16:09 konstruiere Metrik d auf Raum C(G) der stetigen Funktionen auf Gebiet G
00:21:35 Konvergenz in C(G) bezüglich Metrik d entspricht kompakter Konvergenz
00:22:36 Wohldefiniertheit der Metrik: evtl. ungleiche Abstände, aber gleiche konvergente Folgen
00:25:48 Konvergenzsatz von Weierstraß, funktionalanalytische Übersetzung
00:27:47 holomorphe Funktionen H(G) bilden abgeschlossenen vollständigen Teilraum von C(G)
00:29:55 holomorphe Funktionen auf Kreisringen
00:30:50 Cauchyscher Integralsatz, Erinnerung (Existenz einer lokalen Taylorentwicklung)
00:34:43 Laurent-Reihen, Motivation
00:37:25 Theorem von Laurent, Zutaten
00:41:53 Reihenentwicklung für holomorphe Funktion auf Kreisring (Laurent-Reihe), Theorem von Laurent
00:55:10 Laurent-Reihen, einfache Beispiele
01:01:00 Laurent-Reihen, Beispiel ( f(z) = 1/(z-1)(z-2) mit Entwicklung um Punkt z=0 durch geometrische Reihe)
01:11:00 Reihenentwicklung für holomorphe Funktion auf Kreisring (Laurent-Reihe), Beweis
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