Vorlesung Analysis IV, 25. und 26. Stunde

Groh, Ulrich , 11.06.2013

Table of Contents:

00:00:00 komplexe Analysis, einige Highlights (die man aus Vorlesung mitnehmen sollte)
00:03:31 singuläre Punkte holomorpher Funktionen (isolierte Singularitäten)
00:06:04 Riemannscher Hebbarkeitssatz
00:07:09 nicht hebbare isolierte Singularität, Funktion muss in Umgebung unbeschränkt sein
00:08:35 isolierte Singularität, Pol (Bezeichnung)
00:10:20 Laurent-Reihendarstellung für holomorphe Funktion mit Pol
00:18:44 Ordnung des Pols einer Funktion, Bezeichnung
00:19:53 Pol k-ter Ordnung einer Funktion, Beispiele
00:24:24 meromorphe Funktion, Definition
00:25:40 meromorphe Funktionen, Anmerkung
00:28:45 wesentliche Singularität, Erkennungsmerkmal in Laurent-Reihe
00:31:10 wesentliche Singularität, typisches Beispiel ( exp(1/z) für z -> 0)
00:32:39 Satz von Casorati-Weierstraß, Eigenschaft einer wesentlichen Singularität
00:36:40 Satz von Casorati-Weierstraß, Beweis
00:41:00 Satz von Picard, Anmerkung
00:44:55 Übertragung auf Riemannsche Zahlenkugel, Verhalten im Punkt "unendlich"
00:49:40 Integralberechnung mit Residuen, Erinnerung
00:51:05 Residuenkalkül
00:51:20 Laurent-Reihe bei isolierter Singularität, Erinnerung
00:52:31 Integralberechnung mit Residuen, Erinnerung
00:55:40 Residuenkalkül, Anmerkung (Residuensatz)
00:59:00 Residuenkalkül, Beispiel
01:03:25 Residuenkalkül, Anwendung (Berechnung reeller, uneigentlicher Integrale)
01:04:31 uneigentliches Riemann-Integral ist Grenzwert reeller Zahlen
01:07:14 uneigentliches Riemann-Integral von minus bis plus unendlich, Definition und Warnung
01:10:46 Residuenkalkül, Berechnung des uneigentlichen Integrals von f(x) = 1/(1+x^2)
01:19:06 Berechnung uneigentlicher Integrale mit Residuenkalkül, weitere Beispiele
01:20:36 Rechenregeln des Residuenkalküls
01:20:58 Residuum res(f,z_0) für Pol 1-ter Ordnung in z_0, 1. Regel mit Beispiel
01:23:29 Residuum res(f,z_0) für Pol m-ter Ordnung in z_0, 2. Regel mit Beispielen
01:31:47 Berechnung uneigentlicher Integrale mit Residuenkalkül, noch zu rechnende Beispiele
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