Vorlesung Lineare Algebra 1, 38. Stunde

Deitmar, Anton , 07.01.2014

Table of Contents:

00:00:00 Vorlesung Lineare Algebra 1, Erinnerung an die zwei Ziele
00:02:00 Klassifikation mathematischer Objekte, insbesondere linearer Abbildungen (Heuristik)
00:06:29 Klassifikation endlichdimensionaler Vektorräume über Körper K, Beispiel
00:09:52 Invariante eines mathematischen Objekts unter Isomorphie, Beispiel Dimension
00:11:07 Klassifikation linearer Abbildungen, Wiederholung des bisher erreichten Standes
00:12:20 lineare Abbildung, Basiswahl in Matrixdarstellung führt zu konjugierten Matrizen
00:13:09 Klassifikation linearer Abbildungen ist äquivalent zu Klassifikation von Matrizen bis auf Konjugation
00:14:10 Invariante der Konjugation von Matrizen sind Eigenwerte
00:14:49 Klassifikation von Matrizen, die n verschiedene Eigenwerte haben (Beispiel)
00:19:44 Eigenwert, Definition und Eigenschaften
00:20:34 Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind genau die Eigenwerte der Matrix
00:21:34 Satz von Cayley-Hamilton: Matrix annulliert ihr eigenes charakteristisches Polynom
00:22:15 geometrische und algebraische Vielfachheit eines Eigenwerts, Wiederholung
00:25:24 diagonalisierbare Matrix, Definition
00:26:17 Diagonalisierbarkeit von Matrizen, Charakterisierung
00:28:16 Minimalpolynom, Existenz, Eindeutigkeit und Bezeichnung (Satz)
00:30:11 Minimalpolynom teilt Polynome, die durch Einsetzen der Matrix annulliert werden, Zusatz
00:32:35 Minimalpolynom ist i.a. nicht das charakteristische Polynom, Beispiel
00:33:44 zerfällt charakteristisches Polynom in Linearfaktoren, so hat Minimalpolynom die gleichen Nullstellen wie jenes, Proposition
00:37:25 zerfällt charakteristisches Polynom in Linearfaktoren, so hat Minimalpolynom die gleichen Nullstellen wie jenes, Beweis
00:44:21 Berechnung des Minimalpolynoms, Beispiel
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