Vorlesung Lineare Algebra 2, 32. Stunde

Deitmar, Anton , 17.06.2014

Table of Contents:

00:00:00 euklidischer Ring, Erinnerung
00:00:53 euklidischer Ring ist Hauptidealring und dieser ist faktorieller Ring, Erinnerung
00:01:55 Hauptidealring, der kein faktorieller Ring ist (Beispiel Z[sgrt(-5)] )
00:03:56 Vertretersystem der Primelemente (bis auf Assoziiertheit) in faktoriellem Ring, Definition
00:05:35 Vertretersystem der Primelemente in faktoriellem Ring, Beispiel (in Z: Primzahlen)
00:06:09 Darstellung der Nicht-Einheiten des Rings mit Hilfe des Vertretersystems
00:07:23 größter gemeinsamer Teiler zweier Elemente v und w ("ggT(v,w)"), Definition
00:08:40 kleinstes gemeinsames Vielfache zweier Elemente v und w ("kgV(v,w)"), Definition
00:09:08 im Hauptidealring gilt für Ideale: zR + wR = ggT(z,w)R , Bemerkung (siehe Satz unten)
00:10:19 Vertretersystem der Primelemente in faktoriellem Ring, Beispiel (in K[X]: irreduzible normalisierte Polynome über Körper)
00:12:24 Teilbarkeit im Hauptidealring, Eigenschaften von ggT und kgV (Satz)
00:15:11 Teilbarkeit im Hauptidealring, Eigenschaften von ggT und kgV (Beweis)
00:19:22 im Hauptidealring ist jedes echte Primideal schon maximal, denn ...
00:19:44 im Hauptidealring R ist p Primelement <=> wenn R/pR Körper ist (Charakterisierung), Korollar
00:21:54 im Hauptidealring R ist p Primelement <=> wenn R/pR Körper ist, Beweis
00:27:07 Charakterisierung der Primelemente, Beispiel (Z/mZ ist Körper <=> m ist Primzahl)
00:27:36 Ableitung der Zahlen aus den natürlichen Zahlen
00:29:18 Konstruktion der rationalen Zahlen Q als Äquivalenzklassen einer passenden Relation auf Z
00:33:45 Lokalisierung im Integritätsring, Einleitung
00:34:19 multiplikativ abgeschlossene Teilmenge, Definition
00:35:41 multiplikativ abgeschlossene Teilmenge, Beispiel ( S=R\P , wenn P Primideal ist)
00:37:14 Lokalisierung S^{-1}R von R nach S (S multiplikativ abgeschlossen), Definition
00:38:41 Lokalisierung, Beispiel (S = {Zahlen, die Primzahl p nicht teilen}, Z_(p) = Brüche mit Nenner aus S)
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