Vorlesung 10 Perlen der Mathematik, 3. und 4. Stunde

Loose, Frank , 28.04.2016

Table of Contents:

00:00:00 Vorlesung 10 Perlen der Mathematik, Einleitung
00:02:04 Perle 2: warum man einen Igel nicht ohne Wirbel kämmen kann
00:02:54 Form und Gestalt in der Topologie, Motivation
00:05:35 Grundfrage der Topologie: wann haben zwei Räume die gleiche Gestalt?
00:07:13 zwei Räume von verschiedener Gestalt, Beispiel (Sphäre und Torus)
00:10:05 stetiges Vektorfeld, Definition
00:13:24 Skalarprodukt im R^3, Erinnerung
00:14:20 jedes stetige Vektorfeld auf Sphäre S^2 hat mindestens eine Nullstelle, Satz (vom Igel)
00:17:50 formuliert als "Igelsatz": man kann einen Igel nicht ohne Glatzpunkt kämmen
00:18:37 Versuche, einen Igel zu kämmen ... (Beispiele)
00:19:03 Äquivalenz zwischen Vektorfeldern und Kurvenscharen, Vorbemerkung
00:21:17 Kämmen entlang der Breitengrade - kostet zwei Glatzpunkte, Beispiel
00:22:43 Vektorfeld mit nur einer Nullstelle (mit stereographischer Projektion), Beispiel
00:30:00 auf S^1 gibt es stetige Vektorfelder ohne Nullstellen, Beispiel
00:32:12 Sphäre S^2 ist nicht gestaltähnlich zum Torus ("Donut"), Korollar (aus Igelsatz)
00:36:00 Igelsatz, Beweisskizze
00:36:54 Igelsatz, Beweisskizze: Annahme des Gegenteils
00:38:55 Übrigens: durch Null darf man nicht teilen!
00:39:53 Igelsatz, Beweisskizze: Deformation von Abbildungen (Homotopie)
00:41:44 Igelsatz, Beweisskizze: auf 1 normiertes Vektorfeld ist homotop zur Identität
00:44:40 Igelsatz, Beweisskizze: auf 1 normiertes Vektorfeld ist homotop zur Antipodenabbildung
00:47:25 Igelsatz, Beweisskizze: Abbildungsgrad stetiger Abbildungen der Sphäre auf sich
00:50:55 Igelsatz, Beweisskizze: Abbildungsgrad homotoper Abbildungen ist gleich
00:50:55 Igelsatz, Beweis: Abbildungsgrad der Antipodenabbildung ist -1
00:57:11 Igelsatz, Beweis: Homotopierelation ist transitiv
00:57:50 Igelsatz, Beweis: Abbildungsgrad der Identität ist 1
00:58:15 Igelsatz, Beweis: das ergibt Widerspruch
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