Vorlesung 10 Perlen der Mathematik, 9. und 10. Stunde

Loose, Frank , 09.06.2016

Table of Contents:

00:00:00 Vorlesung 10 Perlen der Mathematik, Einleitung
00:01:30 Perle 5: Krümmung und Gravitation
00:02:10 Newtonsche Gravitationstheorie
00:03:37 Bewegung (Kinematik): Bahn, Geschwindigkeit und Beschleunigung von Körpern
00:10:05 Modellierung von Kraft als Vektorfeld
00:12:53 Newtonsches Bewegungsgesetz
00:18:05 mathematische Herausforderung: Lösung einer Differentialgleichung zweiter Ordnung
00:20:54 Newtonsches Gravitationsgesetz
00:23:26 welches Kraftfeld wird durch gegebene Massenverteilung induziert?
00:28:05 Ableitung von Funktionen mehrerer Veränderlicher (Gradient)
00:30:07 zweite Ableitung einer Funktion mehrerer Veränderlicher (Hessesche Matrix)
00:31:44 Laplace einer Funktion
00:33:13 Newtonsches Gravitationsgesetz, Formulierung
00:36:11 Newtonsche Gravitationstheorie, Zusammenfassung
00:37:48 Kepler-Gleichung, Beispiel
00:40:10 Elemente der Differentialgeometrie (nach Gauß und Riemann)
00:40:41 Pseudosphäre (dargestellt als rotierte Ziehkurve (Traktrix)), Beispiel
00:41:15 Ziehkurve (Traktrix)
00:42:54 Pseudosphäre hat Gaußsche Krümmung -1 (Beispiel)
00:45:36 Gaußsche Krümmung einer Fläche ist intrinsische Größe, Satz (Gauß, "Theorema egregium")
00:46:12 intrinsische Größe, Idee von Riemann (Mannigfaltigkeit)
00:49:17 Mannigfaltigkeit ist Menge mit lokalen "Karten"
00:52:26 Tangentialraum in Punkt einer Mannigfaltigkeit
00:54:08 Riemannsche Metrik (g_ij) und Riemannsche Mannigfaltigkeit, Definitionen
00:55:33 Theorema egregium besagt: Gauß-Krümmung kann allein durch Riemannsche Metrik (g_ij) ausgedrückt werden
00:57:23 Riemannscher Krümmungstensor einer Riemannschen Mannigfaltigkeit
00:59:02 Geodätengleichung (freier Fall auf Mannigfaltigkeit)
01:00:02 Grundidee der allgemeinen Relativitätstheorie (Einstein)
01:00:35 Modell der Raum-Zeit ist 4-dimensionale Mannigfaltigkeit mit Lorentz-Metrik
01:03:18 Modellierung der Massenverteilung durch Tensorfeld
01:04:10 Einsteinsche Feldgleichung (ist "Gravitationsgleichung")
01:05:22 Bewegungsgleichung ist Gleichung des freien Falls (ohne Kraftfeld, "Masse krümmt den Raum")
01:06:44 Einsteinsche Relativitätstheorie, Zusammenfassung
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