Vorlesung 10 Perlen der Mathematik, 13. und 14. Stunde

Loose, Frank , 23.06.2016

Table of Contents:

00:00:00 Vorlesung 10 Perlen der Mathematik, Einleitung
00:01:03 Perle 7: Poincarés Vermutung
00:01:11 Poincarés Vermutung, eines der Millenium Probleme des Clay-Instituts
00:02:25 Grigori Perelman, einige Stationen seines Lebens
00:02:55 Grigori Perelman löst das Geometrisierungsprogramm und damit Poincarés Vermutung (2002)
00:05:31 Grigori Perelman nimmt verliehene Fields-Medaille nicht an
00:07:14 Mannigfaltigkeit ist Menge mit lokalen "Karten"
00:12:48 Klassifikation n-dimensionaler geschlossener Mannigfaltigkeiten
00:14:30 1-dimensionale geschlossene Mannigfaltigkeiten, nur ein Beispiel: S^1
00:15:52 2-dimensionale geschlossene Mannigfaltigkeiten, Klassifikation
00:17:19 zusammenhängende Summe von Mannigfaltigkeiten
00:19:32 3-dimensionale geschlossene Mannigfaltigkeiten ("geschlossene 3-Mannigfaltigkeiten"), Beispiel Sphäre S^3
00:20:17 stereographische Projektion
00:22:17 geschlossene 3-Mannigfaltigkeiten, Beispiel Torus T^3
00:23:38 geschlossene 3-Mannigfaltigkeiten, weitere Beispiele via Summenkonstruktion
00:24:21 geschlossene 3-Mannigfaltigkeiten, weitere Beispiele mit Hilfe von Knoten
00:26:57 Geometrisierungsprogramm (Thurston, 1979), es gibt 8 Grundbausteine für geschlossene 3-Mannigfaltigkeiten
00:29:34 einfach zusammenhängende Menge
00:33:19 einfach zusammenhängende Menge, Beispiele: S^2 und S^3 (und Gegenbeispiele)
00:36:15 Poincarés Vermutung: jede einfach zusammenhängende geschlossene 3-Mannigfaltigkeit ist homöomorph zur S^3
00:37:36 Perelmans Beweis der Poincaré Vermutung
00:38:22 Geometrisierung von Mannigfaltigkeiten durch Riemannsche Metriken
00:38:22 Riemannsche Metrik ermöglicht Geometrie, insbesondere Konzept der intrinsischen Krümmung ("Schnittkrümmung")
00:42:12 jede einfach zusammenhängende geschlossene Riemannsche n-Mannigfaltigkeit mit Schnittkrümmung +1 ist isometrisch zur S^n, Satz (Hopf)
00:44:18 Ricci-Fluss, Vorbemerkung
00:45:02 Ricci-Fluss
00:45:18 Ricci-Fluss, Idee (Wärmeleitungsgleichung)
00:46:37 Wärmeleitungsgleichung
00:53:13 Ricci-Fluss (Hamilton, 1981), lässt "Geometrie fließen"
00:56:29 Metrik mit positiver Ricci-Krümmung auf geschlossener 3-Mannigfaltigkeit konvergiert gegen Metrik konstanter Krümmung, Satz (Hamilton, 1981)
00:59:12 Bestätigung der Poincaré-Vermutung, Korollar
01:00:45 Studium der Singularitäten des Ricci-Flusses, Perelmans Idee
01:03:33 Studium der Singularitäten des Ricci-Flusses, Perelmans Beweis des Geometrisierungsprogramms von Thurston
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