Vorlesung 10 Perlen der Mathematik, 19. und 20. Stunde

Loose, Frank , 14.07.2016

Table of Contents:

00:00:00 Vorlesung 10 Perlen der Mathematik, Einleitung
00:00:51 Perle 10: das Paradoxon von Banach und Tarski
00:03:59 Axiome (in der Mengenlehre)
00:05:37 Auswahlaxiom, Vorbemerkung
00:06:33 Auswahlaxiom, Aussage
00:08:23 Maßeigenschaft der Additivität
00:10:49 wegen Auswahlaxiom gibt es nicht messbare Teilmengen im R^3
00:11:32 zerlegungskongruente Teilmengen (in Zeichen A ~ B), Definition
00:14:14 zerlegungskongruente Teilmengen (in Zeichen A ~ B), Beispiel
00:15:35 S^1 ist zerlegungskongruent zu S^1\{(1,0)}, Beispiel (Grundidee des Beweises)
00:17:27 S^1 ist zerlegungskongruent zu S^1\{(1,0)}, Beweis
00:27:55 Verfeinerung des obigen Arguments
00:30:22 Verfeinerung: Wirkung auf S^1 erzeugt Bahnen
00:31:05 Verfeinerung: S^1 ist disjunkte Vereinigung von Bahnen
00:33:09 Verfeinerung: Menge der Repräsentanten M der Bahnen ist nicht messbar
00:36:43 Verfeinerung: S^1 ist zerlegungskongruent zu S^1\M
00:38:37 paradoxe Teilmenge im R^3, Definition
00:41:23 eine zu paradoxer Menge X zerlegungskongruente Menge Y ist selbst paradox, Bemerkung
00:42:09 die Einheitskugel B^3 ist paradox, Satz (Banach-Tarski)
00:43:56 Satz von Banach-Tarski, Beweis
00:44:16 Schritt 1: zum Beweis genügt zu zeigen: S^2 ist paradox
00:48:36 Schritt 2: Übertragung der Grundidee des Beweises auf zwei Drehungen f und g im R^3
00:51:06 Betrachtung der von f und g erzeugten Untergruppe F in SO(3)
00:52:30 reduzierte Darstellung der "Worte" in erzeugter Untergruppe F, Konvention
00:54:59 echte Drehung an der 2-Sphäre hat zwei Fixpunkte (Antipoden, die Drehachse definieren)
00:56:46 setze D als Menge der obigen Fixpunktpaare auf S^2
00:57:28 X = S^2\D ist paradox, Satz (Hausdorff)
00:57:56 Schritt 3: X = S^2\D ist zerlegungskongruent zu S^2 (S^2\D ~ S^2)
00:59:14 Untergruppe F wirkt auf X
01:02:17 Abschluss: disjunkte Zerlegung der Gruppe F in fünf Teile
01:04:53 Wirkung von f und g auf Teilen der Zerlegung
01:07:07 definiere Mengen A' und B', welche beide zerlegungskongruent zu F sind
01:08:25 transportiere alles auf Menge X: das zeigt, dass X paradox ist
01:10:14 Vorlesung 10 Perlen der Mathematik, Schlussbemerkung
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