Vorlesung Lineare Algebra 1 - Mathematik für Physiker 2, 38. Stunde

Markwig, Hannah ; Agostini, Daniele , 25.06.2024

Table of Contents:

00:00:00 Seien V ein K-Vektorraum, f:V->V ein Endomorphismus und Lambda_1,..., Lambda_r in K die paarweise verschiedene Eigenwerte von f, entsprechende Eigenräume: direkte Summe, Basis (Proposition)
00:02:41 Seien V ein K-Vektorraum, f:V->V ein Endomorphismus und Lambda_1,..., Lambda_r in K die paarweise verschiedene Eigenwerte von f, entsprechende Eigenräume: direkte Summe, Basis (Beweis)
00:09:26 Seien V ein K-Vektorraum, f:V->V ein Endomorphismus und Lambda_1,..., Lambda_r in K die paarweise verschiedene Eigenwerte von f: Summe der Dimensionen der Eigenräume kleinergleich dim V, f ist diagonalisierbar wenn Gleichheit gilt (Satz)
00:11:12 Seien V ein K-Vektorraum, f:V->V ein Endomorphismus und Lambda_1,..., Lambda_r in K die paarweise verschiedene Eigenwerte von f: Summe der Dimensionen der Eigenräume kleinergleich dim V, f ist diagonalisierbar wenn Gleichheit gilt (Beweis)
00:16:49 Algebraische und geometrische Vielfachheit
00:17:26 Sei g(t) in K[t], g(t) ungleich 0 ein Polynom und sei Lambda in K ein Skalar, es gibt ein einziges m in N, so dass g(t)=(t-Lambda)^m * h(t) mit h(Lambda) ungleich 0 (Lemma)
00:18:58 Sei g(t) in K[t], g(t) ungleich 0 ein Polynom und sei Lambda in K ein Skalar, es gibt ein einziges m in N, so dass g(t)=(t-Lambda)^m * h(t) mit h(Lambda) ungleich 0 (Beweis)
00:24:29 Vielfachheit einer Nullstelle (Definition)
00:26:13 Vielfachheit einer Nullstelle für verschiedene Nullstellen (Bemerkung)
00:27:37 Algebraische und geometrische Vielfachheit eines Eigenwerts (Definition)
00:29:06 Geometrische Vielfachheit ist immer kleiner oder gleich die algebraische Vielfachheit (Lemma)
00:30:00 Geometrische Vielfachheit ist immer kleiner oder gleich die algebraische Vielfachheit (Beweis)
00:34:20 Kriterium zur Diagonalisierbarkeit, algebraische Vielfachheit und geometrische Vielfachheit jedes Eigenwerts Lambda_i gleich (Proposition)
00:35:55 Kriterium zur Diagonalisierbarkeit, algebraische Vielfachheit und geometrische Vielfachheit jedes Eigenwerts Lambda_i gleich (Beweis)
00:39:55 Matrix, Diagonalisierbarkeit (Beispiel)
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