Vorlesung Lineare Algebra 1 - Mathematik für Physiker 2, 39. und 40. Stunde

Nollau, Clemens ; Agostini, Daniele , 28.06.2024

Table of Contents:

00:00:00 Quadratische nxn Matrix, algebraische Vielfachheit, geometrische Vielfachheit
00:02:53 Nicht-diagonalisierbare Matrix (Beispiel)
00:08:31 Sei V ein K-Vektorraum mit dim V=n und sei f:V->V ein Endomorphismus mit n paarweise verschiedenen Eigenwerten Lambda_1,...,Lambda_n in K, f diagonalisierbar (Korollar)
00:08:45 Diagonalisierbarkeit einer Matrix, sei V ein K-Vektorraum mit dim V=n und sei f:V->V ein Endomorphismus mit n paarweise verschiedenen Eigenwerten Lambda_1,...,Lambda_n in K (Korollar)
00:10:27 Diagonalisierbarkeit einer Matrix, Kriterium (Beweis)
00:14:47 Polynome und Endomorphismen
00:21:22 Wenn A in K_n×n eine Matrix ist, ähnlichen Endomorphismus definieren (Bemerkung)
00:30:40 Ideal (Definition)
00:32:52 Wenn A, B ähnliche Matrizen, dann I_A=I_B (Bemerkung)
00:34:18 Satz von Hamilton-Cayley
00:35:28 Satz von Hamilton-Cayley (Satz)
00:37:14 Satz von Hamilton-Cayley (falscher Beweis)
00:40:09 Invarianter Vektorraum (Definition)
00:42:29 Invarianter Vektorraum (Bemerkung)
00:43:46 Teilbarkeit (Definition)
00:45:33 Teilbarkeit (Bemerkung)
00:47:40 Seien V ein K-Vektorraum, f:V->V ein Endomorphismus und W in V ein f-invarianter Untervektorraum das charakteristische Polynom Chi_f eingeschränkt auf W teilt das charakteristische Polynom Chi_f(t) (Lemma)
00:49:28 Begleitmatrix (Definition)
00:52:33 Begleitmatrix, normiertes Polynom mit Grad n und A Begleitmatrix von P(t), charakteristisches Polynom von A (Lemma)
00:55:04 Begleitmatrix, normiertes Polynom mit Grad n und A Begleitmatrix von P(t), charakteristisches Polynom von A (Beweis)
01:07:50 Satz von Hamilton-Cayley (Beweis)
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