Vorlesung Geometrie, 15. und 16. Stunde

Agostini, Daniele , 07.11.2024

Table of Contents:

00:00:00 Affine Abbildungen
00:00:40 Affine Abbildungen (Definition)
00:02:10 Affine Abbildung ist die Komposition einer linearen Abbildung x->A_x mit einer Translation y->y+v, lineare Abbildungen und Translationen sind affin (Bemerkung)
00:04:59 Affine Abbildung, Form (Bemerkung)
00:06:26 Komposition von affinen Abbildungen ist affin, f_A,v ist injektiv (bzw. surjektiv), wenn f_A,v invertierbar ist dann ist die Inverse auch affin (Lemma)
00:10:58 Komposition von affinen Abbildungen ist affin, f_A,v ist injektiv (bzw. surjektiv), wenn f_A,v invertierbar ist dann ist die Inverse auch affin (Beweis)
00:17:51 Affine Transformation (Definition)
00:19:41 Affine Transformation, Aff(K^n) ist eine Gruppe mit der Komposition Aff(K^n)= semidirektes Produkt von K^n und GL_n(K) (Bemerkung)
00:21:23 Zentrische Streckungen (Beispiel)
00:26:35 Komplementäre affine Unterräume und Parallelprojektionen (Beispiel)
00:27:29 Komplementäre affine Unterräume (Definition)
00:28:59 Komplementäre affine Unterräume (Beispiel)
00:30:37 Nicht-leere affine Unterräume und assoziierte Untervektorräume: M, N sind komplementär genau dann wenn K^n=direkte Summe von M_0 und N_0 (Lemma)
00:32:28 Nicht-leere affine Unterräume und assoziierte Untervektorräume: M, N sind komplementär genau dann wenn K^n=direkte Summe von M_0 und N_0 (Beweis)
00:42:12 Nicht-leerer affiner Unterraum hat immer einen komplementären Unterraum (Bemerkung)
00:43:58 Sei M in K^n ein nicht-leerer affiner Unterraum und sei N in K^n ein komplementärer Unterraum (Beispiel)
00:45:14 Sei P in K^n und sei M_0 + P der einzige affine Unterraum parallel zu M, mit dim = dimM, der durch P geht, dann sind M_0 + P und N komplementär (Beispiel)
00:49:12 Parallelprojektion (Definition)
00:52:33 Parallelprojektion ist eine affine Abbildung (Proposition)
00:53:50 Parallelprojektion ist eine affine Abbildung (Beweis)
01:05:26 Parallelprojektion ist eine affine Abbildung (Beispiel)
01:09:16 Seien P_1,..., P_n+1 in K^n Punkte in linearer allgemeiner Lage und Q_1,..., Q_n+1 in K^n beliebige Punkte, es gibt eine einzige affine Abbildung f:K^n->K^m, f ist invertierbar (Satz)
01:15:05 Seien P_1,..., P_n+1 in K^n Punkte in linearer allgemeiner Lage und Q_1,..., Q_n+1 in K^n beliebige Punkte, es gibt eine einzige affine Abbildung f:K^n->K^m, f ist invertierbar (Beweis)
01:25:44 Sei f=f_A,v von K^n->K^m eine affine Abbildung und seien L in K^n, M in K^m nicht-leere affine Unterräume mit assoziierten Unterräumen L_0 in K^n, M_0 in K^m (Lemma)
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