Vorlesung Geometrie, 19. und 20. Stunde

Agostini, Daniele , 14.11.2024

Table of Contents:

00:00:00 Affine Geometrie in euklidischen Räumen
00:00:32 Euklidischer Raum (Definition)
00:02:02 Euklidische Norm und Abstand (Definition)
00:03:18 R^n mit dem euklidischen Abstand ist ein metrischer Raum, Dreiecksungleichung (Bemerkung)
00:06:47 Abstand ist invariant für Translationen (Bemerkung)
00:07:47 Cauchy-Schwarz-Ungleichung (Bemerkung)
00:10:31 Winkel (Definition)
00:13:02 Orthogonalität (Definition)
00:15:41 Zwei nicht null Vektoren sind orthogonal genau dann, wenn der Winkel zwischen den beiden pi/2 ist (Bemerkung)
00:16:27 Orthogonales Komplement (Definition)
00:18:26 Orthogonale Basen (Definition)
00:21:07 Jeder Untervektorraum hat eine orthonormale Basis, Gram-Schmidt Verfahren (Bemerkung)
00:22:27 Sei M_0 in R^n ein Untervektorraum und sei (v_1,..., v_r) eine orthogonale Basis von M_0 ein sei pi_M_0=R^n->M_0 die orthogonale lineare Projektion, die von der Dekomposition R^n=M_0 direkte Summe M_0 perp definiert ist (Proposition)
00:26:09 Sei N in R^n ein affiner Unterraum, N ungleich 0
00:26:41 Orthogonale Projektion (Definition)
00:31:55 Seien N in R^n nicht leerer affiner Unterraum und P in R^n. Der Punkt Pi orthogonale Projektion von P auf N ist der einzige Punkt auf N, der am nächsten an P ist (Proposition)
00:35:38 Seien N in R^n nicht leerer affiner Unterraum und P in R^n. Der Punkt Pi orthogonale Projektion von P auf N ist der einzige Punkt auf N, der am nächsten an P ist (Beweis)
00:45:03 Abstand zwischen einem Punkt und einem affinen Unterraum (Definition)
00:51:16 P=(2,2,2) in R^3, H={x=1} (Beispiel)
00:59:54 d(P,N)=0 genau dann, wenn P in N (Bemerkung)
01:01:13 Zwei affine Unterräume
01:03:49 Seien N in R^n ein affiner Unterraum und P ein Punkt in Q in N, dann Q=orthogonale Projektion von P auf N genau dann wenn die Gerade zwischen P und Q orthogonal zu N ist (Bemerkung)
01:04:56 Seien N in R^n ein affiner Unterraum und P ein Punkt in Q in N, dann Q=orthogonale Projektion von P auf N genau dann wenn die Gerade zwischen P und Q orthogonal zu N ist (Beweis)
01:09:12 Seien M,N in R^n nicht leere affine Unterräume mit assoziierten Untervektorräumen M_0, N_0 (Proposition)
01:14:31 Abstand zwischen affinen Unterräumen (Definition)
01:18:12 Seien M,N in R^n nicht leere affine Unterräume mit assoziierten Untervektorräumen M_0, N_0 (Beweis)
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