Vorlesung Geometrie, 27. und 28. Stunde

Agostini, Daniele , 28.11.2024

Table of Contents:

00:00:00 Projektive Geometrie
00:00:56 Projektiver Raum (Definition)
00:05:47 Projektiver Raum, in P^2(R) (Beispiele)
00:09:31 Projektiver Raum, [0,0,...,0] ist nicht definiert (Bemerkung)
00:11:24 Projektivisierung von Vektorräumen (Definition)
00:15:18 Projektivisierung von Vektorräumen, P^n (K)=P(K^n+1) (Beispiel)
00:16:24 Projektivisierung von Vektorräumen, P({0})=leere Menge (Beispiel)
00:18:07 Seien v,w beide V\{0}, folgende Aussagen sind äquivalent (Bemerkung)
00:19:51 Seien v,w beide V\{0}, folgende Aussagen sind äquivalent (Beweis)
00:32:14 Menge P^0(K)={|1|} ist ein Punkt: es gibt nur eine Gerade in K (Beispiel)
00:34:49 Summe von zwei Punkten in P(V) ist nicht definiert (Bemerkung)
00:37:21 In P^1(Q), Klasse [1 0] = Klasse [2 0] (Beispiel)
00:38:59 Projektive Unterräume
00:44:45 Projektiver Unterraum (Definition)
00:46:01 Projektiver Unterraum: P(W)=1, dann P(W) eine projektive Gerade in P(V), P(W)=2, dann P(W) eine projektive Ebene (Beispiel)
00:47:39 Sei pi:V\{0}->P(V) dann pi(W\{0})={pi(W)|w in W\{0}}={[w]|w in W\{0}= P(W), Urbild von P(W))=W\{0} (Bemerkung)
00:55:12 H={x+y+z=0} in R^3 ist ein Untervektorraum, so dass P(H) in P(R^3)=P^2(R) ein projektiver Unterraum ist, wir zeigen dass P(H)={[x,y,z] in P^2(R) |x+y+z=0} (Beispiel)
01:01:13 Sei A=(a_ij) in K^mx(n+1) eine Matrix, wir betrachten den Untervektorraum Ker A in K^n*1, P(Ker A) in P^n(K^n+1)=P^n(K) ist ein projektiver Unterraum (Beispiel)
01:06:25 Sei b in K^m , b ungleich 0, {[x] in P^n(K) | Ax=b} nicht definiert (Bemerkung)
01:11:14 Der Schnitt von projektiven Unterräumen ist ein projektiver Unterraum (Lemma)
01:12:48 Der Schnitt von projektiven Unterräumen ist ein projektiver Unterraum (Beweis)
01:16:08 Erzeugter projektiver Unterraum (Definition)
01:17:57 P(W) enthält S genau dann wenn P(W) enthält L(S), L(S) ist der kleinste projektive Unterraum der S enthält (Bemerkung)
01:19:03 Seien W_1, W_2 in V zwei Untervektorräume, dann L(P(W_1), P(W_2))= P(W_1 + W_2) (Lemma)
01:21:29 Seien W_1, W_2 in V zwei Untervektorräume, dann L(P(W_1), P(W_2))= P(W_1 + W_2) (Beweis)
01:22:35 Seien U,W in V Untervektorräume, dann W ist Untervektorraum von U genau dann wenn P(W) ein projektiver Unterraum von P(U) ist (Lemma)
01:23:25 Seien U,W in V Untervektorräume, dann W ist Untervektorraum von U genau dann wenn P(W) ein projektiver Unterraum von P(U) ist (Beweis)
01:29:06 Seien W_1, W_2 zwei endlich dimensionale Untervektorräume, dann dim P(W_1 Schnitt W_2) + dim P(W_1+W_2)= dim P(W_1) + dim P(W_2) (Proposition)
01:29:51 Seien W_1, W_2 zwei endlich dimensionale Untervektorräume, dann dim P(W_1 Schnitt W_2) + dim P(W_1+W_2)= dim P(W_1) + dim P(W_2) (Beweis)
01:30:54 Hausaufgabe
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