Vorlesung Geometrie, 45. und 46. Stunde

Agostini, Daniele , 14.01.2025

Table of Contents:

00:00:00 Verallgemeinerter Kreis (Wiederholung 43. und 44. Stunde)
00:03:41 Seien z_1, z_2, z_3, z_4 in P^1(C) voneinander verschieden, Doppelverhältnis (z_1, z_2 : z_3, z_4) ist reell genau dann, wenn die Punkte auf einem gemeinsamen verallgemeinerten Kreis liegen (Wiederholung Korollar)
00:04:51 Seien z_1, z_2, z_3, z_4 in P^1(C) voneinander verschieden, Doppelverhältnis (z_1, z_2 : z_3, z_4) ist reell genau dann, wenn die Punkte auf einem gemeinsamen verallgemeinerten Kreis liegen (Beweis)
00:11:22 Jede Möbius-Transformation ist die Komposition von Translationen, Drehungen, zentrischen Streckungen und der Inversion (Proposition)
00:13:40 Jede Möbius-Transformation ist die Komposition von Translationen, Drehungen, zentrischen Streckungen und der Inversion (Beweis)
00:22:44 Orthogonale verallgemeinerte Kreise
00:24:14 Seien l,m in C zwei orthogonale reelle Geraden und sei f in Aff(C), dann sind f(l), f(m) auch orthogonal (Lemma)
00:25:02 Seien l,m in C zwei orthogonale reelle Geraden und sei f in Aff(C), dann sind f(l), f(m) auch orthogonal (Beweis)
00:32:11 Tangente (Definition)
00:35:23 Sei m in C eine andere reelle Gerade durch P, dann sind S und m orthogonal in P falls die Tangente und m orthogonal sind (Definition)
00:37:53 Reelle Gerade und reeller Kreis in C treffen sich in höchstens zwei Punkten und nur dann in genau einem Punkt, wenn die Tangente an dem Kreis in diesem Punkt ist (Lemma 1)
00:39:58 Reelle Gerade und reeller Kreis sind orthogonal genau dann wenn die Gerade durch den Mittelpunkt des Kreises verläuft (Lemma 2)
00:41:59 Orthogonale Kreise (Definition)
00:44:35 Zwei verschiedene reelle Kreise treffen sich in höchstens zwei Punkten (Lemma 1)
00:45:54 Wenn sich zwei Kreise in einem Schnittpunkt treffen und orthogonal sind, dann treffen sie sich auch in einem anderen Punkt und sind dort orthogonal (Lemma 2)
00:47:24 Wenn sich zwei Kreise in einem Schnittpunkt treffen und orthogonal sind, dann treffen sie sich auch in einem anderen Punkt und sind dort orthogonal (Beweis-Idee)
00:55:44 Orthogonale verallgemeinerte Kreise (Definition)
00:59:42 Eine Möbius-Transformation verwandelt orthogonale verallgemeinerte Kreise in orthogonale verallgemeinerte Kreise (Satz)
01:01:12 Eine Möbius-Transformation verwandelt orthogonale verallgemeinerte Kreise in orthogonale verallgemeinerte Kreise (Beweis 1 - Komplexe Analysis)
01:01:55 Eine Möbius-Transformation verwandelt orthogonale verallgemeinerte Kreise in orthogonale verallgemeinerte Kreise (Beweis 2 - Geometrisch (Idee))
01:05:50 Betrachtung der Bilder der verallgemeinerten Kreise durch die Inversion, Fall 1
01:09:32 Betrachtung der Bilder der verallgemeinerten Kreise durch die Inversion, Fall 2
01:21:19 Betrachtung der Bilder der verallgemeinerten Kreise durch die Inversion, Fall 3
01:22:07 Betrachtung der Bilder der verallgemeinerten Kreise durch die Inversion, Fall 4
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