Vorlesung Geometrie, 47. und 48. Stunde

Agostini, Daniele , 16.01.2025

Table of Contents:

00:00:00 Axiomatische Geometrie: Inzidenzgeometrie
00:05:13 Mengenpostulat
00:09:47 Existenzpostulat
00:10:49 Eindeutige-Gerade-Postulat
00:12:11 Inzidenzgeometrie (Definition)
00:15:11 Affine Ebene P^2(K) (Beispiel)
00:17:30 Projektive Ebene P^2(K) (Beispiel)
00:20:11 Fano-Ebene (Beispiel)
00:27:51 F_2={0,1}, projektive Ebene P^2(F_2) (Beispiel)
00:32:51 Isomorphismus von Modellen (Definition)
00:35:22 Fano Ebene P={P_1,...,P_7} und die projektive Ebene P^2(F_2) sind isomorph als Modelle der Inzidenzgeometrie (Beispiel)
00:38:47 Kein Modell der Inzidenzgeometrie: Affine Gerade K mit affinen Geraden L in K (Beispiel)
00:41:42 Modell der Inzidenzgeometrie: P=K^3, Geraden als affine Geraden in K^3 (Beispiel)
00:43:49 Modell der Inzidenzgeometrie: P=R mit {*}, * nicht in R, Geraden R oder {t,*}, t in R (Beispiel)
00:47:44 Sei P ein Modell der Inzidenzgeometrie, seien A,B,C in P drei nicht-kollineare Punkte, dann sind A,B,C paarweise verschiedene (Beispiel)
00:49:35 Seien A,B,C in P drei nicht-kollineare Punkte, dann sind A,B,C paarweise verschiedene (Beweis)
00:50:29 Sei P ein Modell der Inzidenzgeometrie, seien A,B in P zwei verschiedene Punkte, dann existiert ein Punkt C so dass A,B,C nicht kollinear sind (Beispiel)
00:51:12 Sei P ein Modell der Inzidenzgeometrie, seien A,B in P zwei verschiedene Punkte, dann existiert ein Punkt C so dass A,B,C nicht kollinear sind (Beweis)
00:54:06 Sei P ein Modell der Inzidenzgeometrie, sei A in P ein Punkt, dann existiert eine Gerade die A nicht enthält (Beispiel)
00:54:48 Sei P ein Modell der Inzidenzgeometrie, sei A in P ein Punkt, dann existiert eine Gerade die A nicht enthält (Beweis)
00:56:44 Sei P ein Modell der Inzidenzgeometrie, sei L Teilmenge von P eine Gerade, dann existiert ein Punkt A der nicht auf L liegt (Beispiel)
00:57:14 Sei P ein Modell der Inzidenzgeometrie, sei L Teilmenge von P eine Gerade, dann existiert ein Punkt A der nicht auf L liegt (Beweis)
00:58:57 Axiomatische affine und projektive Ebene: Affine Parallelpostulat, Projektives Parallelpostulat (Definition)
01:05:48 Sei K ein Körper, affine Ebene K^2 ist auch eine axiomatische affine Ebene, die projektive Ebene P^2(K) ist auch eine axiomatische projektive Ebene (Beispiel)
01:06:57 Modell P=R mit{*} ist keine axiomatische affine Ebene aber eine axiomatische projektive Ebene (Beispiel)
01:11:31 K^3 mit affinen Geraden ist keine axiomatische affine Ebene oder axiomatische projektive Ebene (Beispiel)
01:13:16 P=R mit {*} nicht isomorph zu P^2(K), K Körper
01:19:06 Eine axiomatische projektive Ebene P ist isomorph zu einer projektiven Ebene P^2(K) über einem Körper K genau dann, wenn der Satz von Pappos gilt (Satz)
01:23:21 Axiomatische hyperbolische Ebene: Hyperbolisches Parallelpostulat (Definition)
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