Vorlesung Geometrie, 49. und 50. Stunde

Agostini, Daniele , 21.01.2025

Table of Contents:

00:00:00 Axiomatische hyperbolische Ebene: Existenz-Postulat, Eindeutige-Gerade-Postulat, Hyperbolisches Parallelpostulat (Definition)
00:04:58 Poincaré-Halbebene-Modell der hyperbolischen Ebene (Beispiel)
00:11:38 Hyperbolische Geraden in H sind genau die Schnittmenge von H mit den verallgemeinerten Kreisen in P^1(C) die orthogonal zum Rand von H sind (Bemerkung)
00:13:57 Poincaré-Halbebene-Modell der hyperbolischen Ebene, Eindeutige-Gerade-Postulat
00:26:44 Poincaré-Halbebene-Modell der hyperbolischen Ebene, Existenz-Postulat
00:29:02 Poincaré-Halbebene-Modell der hyperbolischen Ebene, Hyperbolisches Parallelpostulat
00:37:14 Poincaré-Scheiben-Modell der hyperbolischen Ebene (Beispiel)
00:43:43 Sei P ein Modell der Inzidenzgeometrie (oder der hyp. Geometrie) und sei f :P->P' eine Bijektion, dann ist P' mit den Geraden {f(L)|L in P Gerade} ein Modell der Inzidenz-Geometrie (oder der hyp. Geometrie) und f ist ein Isomorphismus (Lemma)
00:46:49 Poincaré-Scheiben-Modell der hyperbolischen Ebene, Cayley-Transformation und ihre Inverse
00:49:57 Die Einschränkung M_|H : H->D ist bijektiv
00:51:37 Die Einschränkung M_|H : H->D ist bijektiv (Beweis)
01:00:42 M schickt die hyperbolische Gerade in H nach hyperbolische Gerade in D (und Umkehrabbildung)
01:02:03 M schickt die hyperbolische Gerade in H nach hyperbolische Gerade in D (und Umkehrabbildung) (Beweis)
01:07:16 Beltrami-Klein-Scheibe-Modell der hyperbolischen Ebene (Beispiel)
01:12:03 F:D->B, w->2w/1+|w|^2 ist eine bijektive Abbildung mit Inverse
01:14:17 F schickt hyperbolische Gerade in D nach hyp. Gerade in B und andersrum für F^-1
01:15:05 F schickt hyperbolische Gerade in D nach hyp. Gerade in B und andersrum für F^-1 (Beweis)
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