Vorlesung Geometrie, 53. und 54. Stunde

Agostini, Daniele , 28.01.2025

Table of Contents:

00:00:00 Modelle der hyperbolischen Ebene
00:00:49 Sei f:P^1(c)->P^1(c) eine Möbiustransformation, so dass f(H)=H, Poincaré-Halbebene-Modell (Proposition)
00:02:58 Sei f:P^1(c)->P^1(c) eine Möbiustransformation, so dass f(D)=D, Poincaré-Scheibe-Modell (Proposition)
00:04:40 Sei f:P^1(c)->P^1(c) eine Möbiustransformation, so dass f(H)=H, Poincaré-Halbebene-Modell (Beweis)
00:17:31 Sei f:P^1(c)->P^1(c) eine Möbiustransformation, so dass f(D)=D, Poincaré-Scheibe-Modell (Beweis)
00:24:24 Seien P,Q in H zwei Punkte, dann existiert eine Möbiustransformation f, so dass f(H)=H und f(P)=Q (Lemma)
00:25:13 Seien P,Q in D zwei Punkte, dann existiert eine Möbiustransformation f, so dass f(D)=D und f(P)=Q (Lemma)
00:25:47 Seien P,Q in H zwei Punkte, dann existiert eine Möbiustransformation f, so dass f(H)=H und f(P)=Q (Beweis)
00:35:19 Seien P,Q in D zwei Punkte, dann existiert eine Möbiustransformation f, so dass f(D)=D und f(P)=Q (Beweis)
00:39:25 Hyperbolischer Abstand
00:40:47 Idealpunkte (Definition)
00:48:57 Hyperbolischer Abstand (Definition)
00:56:23 Hyperbolischer Abstand, (P,Q;P*,Q*)>0 damit Definition gültig (Bemerkung)
01:04:10 Seien P,Q in H oder P,Q in D verschiedene und seinen P*,Q* die Idealpunkte der hyp. Gerade durch P,Q, dann ist (P,Q;P*,Q*)>0 (Lemma)
01:05:25 Seien P,Q in H oder P,Q in D verschiedene und seinen P*,Q* die Idealpunkte der hyp. Gerade durch P,Q, dann ist (P,Q;P*,Q*)>0 (Beweis)
01:14:08 Abstand d_D (P,Q)=|log(P,Q;P*,Q*)| ist wohldefiniert, Reihenfolge ideale Punkte spielt keine Rolle (Bemerkung)
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