Vorlesung Geometrie, 55. und 56. Stunde

Agostini, Daniele , 30.01.2025

Table of Contents:

00:00:00 Hyperbolischer Abstand (Rückblick)
00:04:00 Sei f eine Möbiustransformation, so dass f(H)=H, dann d_H (P,Q)=d_H (f(P),f(Q)), Abstand durch Idealpunkte und Doppelverhältnis definiert (Bemerkung)
00:09:26 Sei f eine Möbiustransformation, so dass f(D)=D, dann d_D (P,Q)=d_D (f(P),f(Q)), Abstand durch Idealpunkte und Doppelverhältnis definiert (Bemerkung)
00:10:44 Wenn M:H->D die Cayley-Transformation ist, dann d_H (P,Q)=d_D (M(P),M(Q)) (Bemerkung)
00:13:02 d_H und d_D sind Abstandfunktionen. Da diese zwei gleich durch die Cayley-Transformationen sind, reicht es zu zeigen, dass d_D eine Abstandsfunktion ist
00:15:29 d_D (P,Q) kleiner gleich 0 für alle P,Q in D, d_D (P,Q)=O <=> P=Q (Beweis)
00:20:27 d_D (P,Q)=d_D (Q,P) für alle P,Q in D (Beweis)
00:26:09 Seien S,S' in H hyp. Geraden und P in S, P' in S' dann existiert eine Möbiustransformation f so dass f(H)=H, f(S)=S', f(P)=P', Analoge Aussage für D (Proposition)
00:28:30 Seien S,S' in H hyp. Geraden und P in S, P' in S' dann existiert eine Möbiustransformation f so dass f(H)=H, f(S)=S', f(P)=P' (Beweis)
00:45:47 Zwei hyp. Geraden S,S' in H oder D sind orthogonal in einem Punkt P, falls die verallg. Kreise in P^1 (C), die die Geraden enthalten, orthogonal sind (Definition)
00:48:32 Seien S in H eine gyp. Gerade und sei P in H ein Punkt, dann existiert eine einzige hyp. Gerade durch P, die orthogonal zu S ist (Lemma)
00:51:19 Seien S in H eine gyp. Gerade und sei P in H ein Punkt, dann existiert eine einzige hyp. Gerade durch P, die orthogonal zu S ist (Beweis)
00:57:32 Seien P,Q,R in D, dann d_D (P,Q) kleiner gleich d_D (P,R) + d_D (R,Q), Dreiecksungleichung (Proposition)
00:58:51 Seien P,Q,R in D, dann d_D (P,Q) kleiner gleich d_D (P,R) + d_D (R,Q), Dreiecksungleichung (Beweis)
01:08:46 Seien O,Q in (0,-1) und R' zwischen (-1,1), dann d_D (0,Q) kleiner gleich d_D (0,R')+d_d (R',Q) mit Gleichung genau dann wenn R' zwischen 0 und Q ist (Lemma 1)
01:11:11 Seien O,Q in (0,-1) und R' zwischen (-1,1), dann d_D (0,Q) kleiner gleich d_D (0,R')+d_d (R',Q) mit Gleichung genau dann wenn R' zwischen 0 und Q ist (Beweis)
01:16:49 Seien S in D eine hyp. Gerade und sei P in S, sei auch R in D und sei S' die einzige Gerade orthogonal zu S die durch R geht, und sei R'=S' Schnitt S dann d_D (P,R') kleiner gleich d_D (P,R) (Lemma 2)
01:20:43 Seien S in D eine hyp. Gerade und sei P in S, sei auch R in D und sei S' die einzige Gerade orthogonal zu S die durch R geht, und sei R'=S' Schnitt S dann d_D (P,R') kleiner gleich d_D (P,R) (Beweis)
01:26:05 d_D ist ein Abstand und insbesondere d_D (P,Q)=d_D (P,R)+d_D (R,Q) gilt genau dann wenn R auf der hyp. Geraden zwischen P und Q liegt und R zwischen P,Q ist (Satz)
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