Vorlesung Algebra, 23. und 24. Stunde

Markwig, Thomas ; Markwig, Hannah , 26.05.2025

Table of Contents:

00:00:00 Körper und Konstruierbarkeit: Körpererweiterung (Rückblick)
00:01:33 Körpererweiterungen, Q[Wurzel 2] (Beispiel)
00:15:39 Turmsatz
00:16:26 Turmsatz (Beweis)
00:22:08 [L : K] eine Primzahl, so hat die Körpererweiterung keine echten Zwischenkörper (Korollar)
00:23:09 Körpererweiterung (Bemerkung)
00:28:34 Primkörper (Definition)
00:31:25 char(K)=0 <=> P(K) isomorph zu Q, char(K)=p <=> P(K) isomorph zu Z_p (Satz)
00:32:44 char(K)=0 <=> P(K) isomorph zu Q, char(K)=p <=> P(K) isomorph zu Z_p (Beweis)
00:35:26 K in L, alpha_1,..,alpha_n in L, Einsetzhomomorphismus (Lemma)
00:38:26 K in L, alpha_1,..,alpha_n in L, Einsetzhomomorphismus (Beweis)
00:40:17 K in L, alpha_1,..,alpha_n in L, der kleinste Körper, der K und alpha_i enthält (Definition)
00:43:04 K(alpha_1,..,alpha_n)=Quot(K[alpha_1,..,alpha_n]) (Lemma)
00:43:39 K(alpha_1,..,alpha_n)=Quot(K[alpha_1,..,alpha_n]) (Beweis)
00:47:21 Algebraisches Element in einer Körpererweiterung, K in L und alpha Element in L, dann sind äquivalent... (Satz)
00:52:48 Minimalpolynom, Grad von alpha, algebraisch über K, transzendent über K (Definition)
00:56:10 Algebraisches Element in einer Körpererweiterung, K in L und alpha Element in L, dann sind äquivalent... (Beweis)
01:12:32 Wurzel 2 in R ist algebraisch über Q, i in C ist algebraisch über R, pi ist transzendent über Q (Beispiele)
01:17:04 Körpererweiterung K in L heißt algebraisch <=> wenn für alle alpha in L gilt: alpha ist algebraisch über K; falls Körpererweiterung K in L nicht algebraisch, dann transzendent (Definition)
01:18:13 K betrachtet als K(x)=Quot(K[x]) ist transzendent (Beispiel)
01:19:11 K in L eine Körpererweiterung, dann sind äquivalent... (Satz)
01:21:00 Endliche Körpererweiterungen, algebraisch (Definition)
01:22:53 K in L eine Körpererweiterung, dann sind äquivalent... (Beweis)
01:30:00 K in L, N in L eine Teilmenge von Elementen, die algebraisch über K sind, so ist K(N)=K[N] und die Körpererweiterung K(N) über K ist algebraisch (Lemma)
01:31:24 K in L, N in L eine Teilmenge von Elementen, die algebraisch über K sind, so ist K(N)=K[N] und die Körpererweiterung K(N) über K ist algebraisch (Beweis)
01:35:04 Zerfällungskörper und algebraischer Abschluss
01:35:26 Satz von Kronecker (Satz)
01:38:57 Satz von Kronecker (Beweis)
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