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Symmetrie in Wissenschaft und Kunst I - Symmetrie im Raum
Kramer, Peter (2001)
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Kramer P. "Symmetrie in Wissenschaft und Kunst I - Symmetrie im Raum.", timms video, Universität Tübingen (2001): https://timms.uni-tuebingen.de:443/tp/UT_20011126_001_symmetrie_0001. Accessed 27 May 2024.
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Kramer, P. (2001). Symmetrie in Wissenschaft und Kunst I - Symmetrie im Raum. timms video: Universität Tübingen. Retrieved May 27, 2024 from the World Wide Web https://timms.uni-tuebingen.de:443/tp/UT_20011126_001_symmetrie_0001
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Kramer, P. (2001). Symmetrie in Wissenschaft und Kunst I - Symmetrie im Raum [Online video]. 26 November. Available at: https://timms.uni-tuebingen.de:443/tp/UT_20011126_001_symmetrie_0001 (Accessed: 27 May 2024).
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Information
title: Symmetrie in Wissenschaft und Kunst I - Symmetrie im Raum
alt. title: Symmetrie im Raum - vom Kristall bis zum Kosmos
creator: Kramer, Peter (author)
subjects: Studium Generale, Symmetrie, Geometrie, Wissenschaft, Kunst, Physik, Kristalle, Ornamente, Kosmos, Keplersche Gesetze, Cayley-Diagramm, Fundamentalbereich, Torus, Kramer, Peter
description: Studium Generale Vorlesung, Montag, 26.11.2001 im Wintersemester 2001-2002
abstract: Die mathematische Erforschung der Symmetrie, mit wichtigen Beiträgen u.a. von F. Klein und S. Lie, ist das Werk des neunzehnten Jahrhunderts. In Wirkung und Rückwirkung mit ihr prägte sie in den Händen von A. Einstein, J. von Neumann, H. Weyl und E. Wigner die Physik der Quanten und Felder des zwanzigsten Jahrhunderts. Die geometrische Symmetrie im Raum erschliessen sich am leichtesten dem Auge, ihre Analyse wird daher hier ausgewählt und meist an zweidimensionalen Beispielen ausgeführt. Die sichtbaren Symmetrien von Ornamenten kehren auf der Längenskala der Kristallgitter und vielleicht in kosmischen Skalen wieder. Dass selbst im Raum die Auswirkung einer Symmetrie nicht immer leicht zu erkennen ist, zeigt ein Blick auf die drei Keplerschen Gesetze der Planetenbewegung: Die Drehsymmetrie der Newtonschen Gravitation zeigt sich nicht unmittelbar in einer einfachen Gestalt ihrer Bahn. Hier war es Keplers grosse Leistung die Kreisbahnen durch Ellipsen zu ersetzen. Wie Kepler fand und wie wir dies viel später als Folge der Drehsymmetrie erkannten, läuft die Bahn jedes Planeten in einer Ebene und überstreicht dabei in gleichen Zeitabschnitten gleiche Flächen. Das Beispiel zeigt den wichtigen Unterschied zwischen der Symmetrie des Gesetzes und ihrer Auswirkung auf die Bahnen oder Felder des Systems. Wir beschränken uns auf beispielhafte höchstens zweidimensionale geometrische Symmetrie und hier auf das Zusammenspiel zwischen den Operationen der Symmetrie und dem von ihnen transportierten Motiv. Die Operationen der Symmetrie. Wie kann die Symmetrie einer Struktur oder eines ebenen Ornamentes im Raum beschrieben werden? Wir stellen zwei Kopien desselben Ornamentes her und prüfen, für welche Verschiebungen, Spiegelungen oder Drehungen beide Kopien einander decken. Die Liste dieser Symmetrie-Operationen ist die Symmetriegruppe. Zwei Symmetrie-Operationen nacheinander ausgeführt lassen sich wieder zu einer Symmetrie verknüpfen. Diese Verknüpfung nennt man die Multiplikation in der Gruppe. Wählen wir wenige erzeugende Operationen oder Generatoren und kennzeichnen wir ihre Verknüpfungen, so erhalten wir Cayley's Diagramm-Darstellung der Gruppe. Das Motiv einer Symmetrie: Fundamentalbereiche. Eine einzige Symmetriegruppe eines Ornamentes oder Kristalls lässt unterschiedliche Realisierungen zu. Wo liegt also der Unterschied zweier Ornamente oder Kristallstrukturen, deren Symmetriegruppe übereinstimmt? Die Antwort ergibt sich durch die Suche nach dem kleinsten räumlichen Motiv eines Ornamentes, dessen Teile nicht durch Symmetrieoperationen in Beziehung zueinander gesetzt werden können. Diese kleinste räumliche Einheit nennen die Kristallographen die Zelle oder die asymmetrische Einheit, die Mathematiker den Fundamentalbereich. Er hängt von der gewählten Symmetriegruppe ab. Wählen wir ein Motiv im Fundamentalbereich einer Gruppe, so generieren ihre Operationen die gesamte Symmetriestruktur. Auf der Suche nach Symmetrie: Die Autokorrelation. Nicht immer sind alle Symmetrien einer gegebenen Struktur evident. Zur Suche nach Symmetrieoperationen liegt es nahe, eine Kopie der Struktur durch kontinuierliche Verschiebungen, Spiegelungen oder Drehungen so lange zu transformieren bis man eine Deckung mit der ursprünglichen Struktur findet. Eine quantitative Durchführung dieser Idee liefert die sogenannte Autokorrelation. Diese Funktion signalisiert jede Symmetrie durch ein scharfes Maximum in ihrem Verlauf. Periodische Symmetrie, Kristallgitter, Fundamentalbereich. Alle Kristalle besitzen insbesondere eine räumliche Periodizität. Unter ihren Generatoren befinden sich also bestimmt drei nicht in einer Ebene liegende Verschiebungen, deren Verknüpfungen ein Gitter aufspannen. Darüber hinaus zeigen Kristalle Symmetrien der Spiegelung und Drehung, die aber so beschaffen sein müssen, dass sie das Gitter des Kristalls in sich überführen. Aus diesen Bedingungen konnten A. M. Schoenflies und E. S. Fedorov Ende des 19. Jh die 230 möglichen Raumgruppen der dreidimensionalen Kristalle ermitteln. Wegen der Periodizität kann der Fundamentalbereich eines Kristalls stets in einer einzigen Gitterzelle gefunden werden. Die Periodizität eines Kristalls weisen die Kristallographen mittels der Autokorrelation nach. Die Autokorrelation wird aus der Fourier-Analyse des diskreten Diffraktionsspektrums von elektromagnetischen oder Materie-Wellen am Kristall gefunden. Quasiperiodische Symmetrie, Quasikristalle, und mehr? Die Listen von Schoenflies und Fedorov enthalten keine fünfzähligen oder ikosaedrischen Punkt- oder Drehsymmetrien. Diese sind mit einem Gitter nicht verträglich. Im Jahr 1984 fanden Shechtman et al. die ersten Quasikristalle mit ikosaedrischer Punktsymmetrie und diskretem Diffraktionsspektrum. R. Penrose fand 1974 Rhombenmuster, deren Kanten parallel zu den Kanten eines regelmässigen Fünfecks verlaufen. Die beiden Rhomben entsprechen Fundamentalbereichen, aber die Aufbauregeln der Strukturen sind neuartig. Bausteine für ikosaedrische Quasikristalle fanden R. Neri und P. Kramer im Jahr 1984. Seit 1984 wurde eine Fülle von Quasikristallen gefunden und untersucht. Welche Symmetrieoperation ordnen diese Quasikristalle? Eine solche Symmetrie ist die sogenannte Inflation: Bausteine einer Struktur werden um bestimmte Skalenfaktoren gedehnt und anschliessend wieder in die alten Bausteine zerschnitten. Durch wiederholte Inflation können grosse Quasikristall-Modelle erzeugt werden. Dies zeigen wir anhand des quasiperiodischen Tübinger Dreiecksmusters. J. H. Conway und Ch. Radin erfanden 1994 auf ähnliche Weise geordnete Strukturen, die weder periodisch sind noch eine bestimmte Punktsymmetrie besitzen. Ob solche Strukturen stabil sind ist eine offene Frage. Aufwickeln der Kristallzelle zum Torus. Die ganze Struktur eines z.B. quadratischen Kristalls ist in dem Motiv einer Gitterzelle und in den Symmetrieoperationen enthalten. Es genügt daher eine einzige Gitterzelle zu betrachten. Jede Gerade führt zu einem Randpunkt dieser Zelle. Ihr weiterer Verlauf kann stückweise in die erste Gitterzelle zurückverlegt werden. Für rationale Steigung führt sie vom Mittelpunkt zum Mittelpunkt zurück. Der über dreitausend Jahre alten Idee der syrischen Rollsiegel folgend, können wir die Zelle eines zweidimensionalen Kristall in einer periodischen Richtung auf einen Zylinder aufwickeln. Aufwickeln auch in einer zweiten periodischen Richtung ergibt die Fläche des sogenannten Torus. Wir vermeiden auf dem Torus die scheinbaren Sprünge an den Rändern der Zelle. Das Abwickeln des Torus führt wieder zur Ebene und zum Gitter zurück. Die sichtbare Krümmung des Torus ist hier ein Artefakt der dreidimensionalen Einbettung und keine innere Eigenschaft. Eine innere topologische Eigenschaft ist aber das Loch im Torus. Gerade Linien auf dem Torus sind durch zwei Windungszahlen gekennzeichnet. Nach der Abwicklung zählen sie die horizontal und vertikal durchquerten Gitterzellen. Bezogen auf den Torus werden aus den ebenen Verschiebungen die Elemente der topologischen sogenannten Homotopie-Gruppe. Den unendlichen Kristall können wir vom endlichen Torus nur mittels Brechung der Symmetrie unterscheiden, z.B. indem wir die Zustände von Elektronen im Kristall untersuchen. Der Kosmos: Unendlich oder endlich und kristallähnlich? Beziehungen wie wir sie bei Kristallen fanden lassen sich auch auf den Kosmos als Ganzen anwenden. Einsteins Gleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie verknüpfen die Raum-Zeit-Geometrie des Kosmos lokal mit der Energie- und Materiedichte. Sie machen aber keine Aussagen über die globale Struktur. Die Topologie der Raum-Zeit wurde seit 1982 massgeblich von W. P. Thurston und J. R. Weeks untersucht. Für die Entstehung und Zukunft des Kosmos ist sie von ausschlaggebender Bedeutung. In einem endlichen geschlossenen Kosmos könnten Lichtsignale zum Ausgangspunkt zurückkehren und Bilder der eigenen Galaxie übermitteln. Ob der Kosmos unendlich ist oder z.B. einen endlichen kristallähnlichen Multi-Torus darstellt, muss mit Experimenten untersucht werden. M. Lachieze-Rey und J.-P. Luminet haben 1995 die kristallographische Methode der Autokorrelation auf die Verteilung von Galaxienhaufen im Kosmos angewandt. Die Abwesenheit scharfer Maxima setzt eine untere Grenze von ca 5 Milliarden Lichtjahren für eine mögliche Periode im Kosmos. Doppeltorus und Oktagon als Modelle eines relativistischen Kosmos. Eine genauere Übertragung der Symmetriebeziehungen vom Kristall auf den Kosmos erfordert, dass die euklidische Metrik des Raumes durch die relativistische Metrik der Raum-Zeit ersetzt wird. Eine solche Metrik lässt sich z.B. auf dem zweidimensionalen Modell des Doppeltorus (Torus mit zwei Löchern) einführen. Der Doppeltorus kann aufgeschnitten und auf eine hyperbolische Ebene gelegt werden. Statt der Quadrat-Parkettierung der euklidischen Ebene erhalten wir eine Oktagon-Parkettierung der hyperbolischen Ebene. Im Fundamentalbereich des Oktagons laufen Lichtstrahlen auf Kreisbögen, die kürzesten geschlossenen Lichtlinien verbinden Randpunkte des Oktagons.
publisher: ZDV Universität Tübingen
contributors: Zentrum für Datenverarbeitung Universität Tübingen (producer), Hoffmann, Volker (organizer), Häfelinger, Günter (organizer)
creation date: 2001-11-26
dc type: image
localtype: video
identifier: UT_20011126_001_symmetrie_0001
language: ger
rights: Url: https://timmsstatic.uni-tuebingen.de/jtimms/TimmsDisclaimer.html?638524186319383034